Question

【題目】如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為AB中點，F(xiàn)為正方形BCC1B1的中心．
（1）求直線EF與平面ABCD所成角的正切值；
（2）求異面直線A1C與EF所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（1）取BC中點H，連結(jié)FH，EH，設(shè)正方體棱長為2．
∵F為BCC1B1中心，E為AB中點．
∴FH⊥平面ABCD，F(xiàn)H=1，EH=．
∴∠FEH為直線EF與平面ABCD所成角，且FH⊥EH．
∴tan∠FEH===．
（2）取A1C中點O，連接OF，OA，則OF∥AE，且OF=AE．
∴四邊形AEFO為平行四邊形．∴AO∥EF．
∴∠AOA1為異面直線A1C與EF所成角．
∵A1A=2，AO=A1O=．
∴△AOA1中，由余弦定理得cos∠A1OA=．

【解析】（1）取BC中點H，連結(jié)FH，EH，證明∠FEH為直線EF與平面ABCD所成角，即可得出結(jié)論；
（2）取A1C中點O，連接OF，OA，則∠AOA1為異面直線A1C與EF所成角，由余弦定理，可得結(jié)論；
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．