Question

19．已知函數(shù)f（x）=x^α，當x∈（1，+∞）時，f（x）-x＜0，則（　�。�

• A． 0＜α＜1
• B． α＜1
• C． α＞0
• D． α＜0

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-x=x^a-x，x∈（1，+∞），可求g’（x）=ax^a-1-1，可證a＜1，分類討論當a≤0時，當1＞a＞0時，證明g（x）＜0都成立即可得解．

解答 解：令g（x）=f（x）-x=x^a-x，x∈（1，+∞），
則g’（x）=ax^a-1-1，
若a＞1，則x^a-1 必大于x⁰=1，此時必有g’（x）＞0，
g（x）單調(diào)遞增．g（x）＞g（1）=0，
所以：a≤1．
若a=1，那么g（x）=0，舍去．
a≤0時，顯然g’（x）＜0，
所以：g（x）在定義域單調(diào)遞減．g（x）無限接近但小于g（1）=0，成立．
1＞a＞0時，0＜x^a-1＜1，那么0＜ax^a-1＜1，那么g’（x）＜0恒成立，同理g（x）＜0成立．
所以a＜1．
故選：B．

點評 本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了導數(shù)的概念及其應用，考查了轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想的應用，屬于中檔題．