Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=60°，AB=AC=2

3

，以PA為直徑的球O和PB、PC分別交于B₁、C₁
（1）求證B₁C₁∥平面ABC
（2）若二面角C-PB-A的大小為arctan2

3

，試求球O的表面積．

Answer 1

分析：（1）連接AC₁、AB₁，由題意可得：PA⊥AB、PA⊥AC，BP=CP，∠APB₁=∠APC₁，再根據(jù)球的性質(zhì)可得：cos∠APB₁=

PB1

AP

=cos∠APC₁=

PC1

AP

，可得

PB1

PB

=

PC1

PC

，所以B₁C₁∥BC，進(jìn)而結(jié)合線面平行的判定定理可得線面平行．
（2）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則CD⊥平面ABP，過(guò)D作DE⊥PB于E，連CE，根據(jù)二面角的定義可得：∠CED是二面角C-PB-A的平面角，可得tan∠CED=

CD

DE

=2

3

，即DE=

3

2

，即可得到∠PBA=30°進(jìn)而結(jié)合題意得到球的直徑求出球的表面積．

解答：解：（1）連接AC₁、AB₁
∵PA⊥底面ABC
∴PA⊥AB、PA⊥AC
又∵AB=AC，易得△APC≌△APB

∴BP=CP，∠APB₁=∠APC₁
∵AP為球O的直徑，∴AC₁⊥PC₁，AB₁⊥PB₁
∴cos∠APB₁=

PB1

AP

=cos∠APC₁=

PC1

AP

，
∴PB₁=PC₁…（3分）
∴

PB1

PB

=

PC1

PC

，
∴B₁C₁∥BC
又∵B₁C₁?平面ABC，BC?平面ABC
∴B₁C₁∥平面ABC   …（6分）
（2）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則CD⊥平面ABP，過(guò)D作DE⊥PB于E，連CE，由三垂線定理知：CE⊥PB，
∴∠CED是二面角C-PB-A的平面角，即∠CED=arctan2

3

，
∴tan∠CED=

CD

DE

=

AC•sin60°

DE

=

3

DE

=2

3

，
∴DE=

3

2

，
sin∠PBA=

DE

DB

=

3

2

×

1

3

=

1

2

，
∴∠PBA=30°…（9分）
∴AP=ABtan∠PBA=2

3

×

3

3

=2，
∴球O的半徑R=1…（11分）
∴球O的表面積為S=4πR²=4π．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征與線面平行的判定定理、三垂線定理，以及二面角平面角的定義與作法，本題也考查了球的有關(guān)性質(zhì)與表面積公式，此題綜合性較強(qiáng)屬于難題，考查學(xué)生的空間想象能力與分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．