Question

已知橢圓Γ的方程為（a>b>0），A（0，b） 、B（0，-b）和 Q（a，0）為Γ的三個(gè)頂點(diǎn)。
（Ⅰ）若點(diǎn)M滿足，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)直線l₁：y=k₁x+p交橢圓Γ于C、D兩點(diǎn)，交直線l₂：y=k₂x于點(diǎn)E。若k₁·k₂=-，證明：E為CD的中點(diǎn)；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)P在橢圓Γ內(nèi)且不在x軸上，如何作過PQ中點(diǎn)F的直線l，使得l與橢圓Γ的兩個(gè)交點(diǎn)P₁、P₂滿足？令a=10，b=5，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-8，-1）。若橢圓Γ上的點(diǎn)P₁、P₂滿足，求點(diǎn)P₁、P₂的坐標(biāo)。

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x₀，y₀），由題意可知

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為；
（Ⅱ）證明：由
得（b²+a²k₁²）x²+2a²k₁px+a²p²-a²b²=0
∴CD的中點(diǎn)坐標(biāo)為


由
得l₁與l₂的交點(diǎn)E的坐標(biāo)為
∴l(xiāng)₁與l₂的交點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)；
（Ⅲ）設(shè)OF的斜率為k₁，過F作斜率為的直線交橢圓P₁、P₂兩點(diǎn)
由（Ⅱ）可知，F(xiàn)是P₁P₂的中點(diǎn)，四邊形PP₁QP₂是平行四邊形
所以
直線P₁P₂即為所求；
由a=10，b=5及點(diǎn)P（-8，-1）得PQ中點(diǎn)為
OS的斜率
過點(diǎn)S且斜率的直線l的方程是y=
記l與T的交點(diǎn)為P₁、P₂，則
由
解得P₁（8，3），P₂（-6，-4）。