Question

從1，2，3，…，20這20個(gè)自然數(shù)中，每次任取3個(gè)數(shù)．
（1）若3個(gè)數(shù)能組成等差數(shù)列，則這樣的等差數(shù)列共有

 

個(gè)；若組成等比數(shù)列，則這樣的等比數(shù)列共有

 

個(gè)；
（2）若3個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)，則這樣的數(shù)組有

 

個(gè)；若其和是大于10的偶數(shù)，則這樣的數(shù)組有

 

個(gè)；
（3）若所取3個(gè)數(shù)中每2個(gè)數(shù)之間至少相隔2個(gè)自然數(shù)，則這樣的數(shù)組有

 

個(gè)．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì),等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：排列組合

分析：（1）采用分類計(jì)數(shù)原理和組合數(shù)的意義即可求解；
（2）將20個(gè)數(shù)分為3組，3的倍數(shù)，3的倍數(shù)加1，3的倍數(shù)加2，分類計(jì)數(shù)即可確定3個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)的數(shù)組；
（3）建立22個(gè)小球模型，采用捆綁插空法即可解決．

解答： 解：（1）設(shè)A={1，3，5，…，19}，B={2，4，…，20}，
從A或B中任取兩個(gè)數(shù)總可作等差數(shù)列的第一、二項(xiàng)，且等差中項(xiàng)唯一存在，
∴所求的等差數(shù)列共有2（

C

2 10

+

C

2 10

）=180個(gè)．
用列舉法：公比是3或

1

3

的等比數(shù)列有4個(gè)；
公比是2或

1

2

的等比數(shù)列有10個(gè)；
公比是4或

1

4

的等比數(shù)列有2個(gè)，共有等比數(shù)列16個(gè)．
（2）設(shè)A₀={3，6，…，18}，A₁={1，4，…，19}，A₂={2，5，…，20}，
則從每個(gè)集合中任取3個(gè)數(shù)，或每個(gè)集合中各取1個(gè)數(shù)，
其和必是3的倍數(shù)，
故所求的數(shù)組共有

C

3 6

+2

C

3 7

+

C

1 6

C

1 7

C

1 7

=384個(gè)．
又設(shè)A={1，3，5，…，19}，B={2，4，…，20}，
則從中取3個(gè)數(shù)且和為偶數(shù)的取法有

C

3 10

+

C

1 10

C

2 10

=570種，
其中3個(gè)數(shù)的和不大于10的有6個(gè)．
故符合條件的數(shù)組共有570-6=564個(gè)．
（3）運(yùn)用如下模型：將3個(gè)黑球與19個(gè)白球排成一排，
且每個(gè)黑球右邊各連排兩個(gè)白球分別形成一個(gè)“位置”，
這樣只有13個(gè)白球與3個(gè)“黑白球組合”排在16個(gè)“位置”上，排法有

C

3 16

，
對(duì)每種排法中的前20個(gè)球從左至右賦值1，2，…，20，
則三個(gè)黑球上的數(shù)即為取出的數(shù)，
∴所取的數(shù)組共有

C

3 16

=560個(gè)．
故答案為：（1）180，16；（2）384，564；（3）560．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念，排列組合的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在能夠正確的利用分布計(jì)數(shù)原理和轉(zhuǎn)化的思想，屬于難題．