Question

從1，2，3，…，20這20個自然數(shù)中，每次任取3個數(shù)．
（1）若3個數(shù)能組成等差數(shù)列，則這樣的等差數(shù)列共有

 

個；若組成等比數(shù)列，則這樣的等比數(shù)列共有

 

個；
（2）若3個數(shù)的和是3的倍數(shù)，則這樣的數(shù)組有

 

個；若其和是大于10的偶數(shù)，則這樣的數(shù)組有

 

個；
（3）若所取3個數(shù)中每2個數(shù)之間至少相隔2個自然數(shù)，則這樣的數(shù)組有

 

個．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質,等比數(shù)列的性質

專題：排列組合

分析：（1）采用分類計數(shù)原理和組合數(shù)的意義即可求解；
（2）將20個數(shù)分為3組，3的倍數(shù)，3的倍數(shù)加1，3的倍數(shù)加2，分類計數(shù)即可確定3個數(shù)的和是3的倍數(shù)的數(shù)組；
（3）建立22個小球模型，采用捆綁插空法即可解決．

解答： 解：（1）設A={1，3，5，…，19}，B={2，4，…，20}，
從A或B中任取兩個數(shù)總可作等差數(shù)列的第一、二項，且等差中項唯一存在，
∴所求的等差數(shù)列共有2（

C

2 10

+

C

2 10

）=180個．
用列舉法：公比是3或

1

3

的等比數(shù)列有4個；
公比是2或

1

2

的等比數(shù)列有10個；
公比是4或

1

4

的等比數(shù)列有2個，共有等比數(shù)列16個．
（2）設A₀={3，6，…，18}，A₁={1，4，…，19}，A₂={2，5，…，20}，
則從每個集合中任取3個數(shù)，或每個集合中各取1個數(shù)，
其和必是3的倍數(shù)，
故所求的數(shù)組共有

C

3 6

+2

C

3 7

+

C

1 6

C

1 7

C

1 7

=384個．
又設A={1，3，5，…，19}，B={2，4，…，20}，
則從中取3個數(shù)且和為偶數(shù)的取法有

C

3 10

+

C

1 10

C

2 10

=570種，
其中3個數(shù)的和不大于10的有6個．
故符合條件的數(shù)組共有570-6=564個．
（3）運用如下模型：將3個黑球與19個白球排成一排，
且每個黑球右邊各連排兩個白球分別形成一個“位置”，
這樣只有13個白球與3個“黑白球組合”排在16個“位置”上，排法有

C

3 16

，
對每種排法中的前20個球從左至右賦值1，2，…，20，
則三個黑球上的數(shù)即為取出的數(shù)，
∴所取的數(shù)組共有

C

3 16

=560個．
故答案為：（1）180，16；（2）384，564；（3）560．

點評：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念，排列組合的綜合應用，解題的關鍵在能夠正確的利用分布計數(shù)原理和轉化的思想，屬于難題．