Question

某個(gè)團(tuán)購網(wǎng)站為了更好地滿足消費(fèi)者需求，對在其網(wǎng)站發(fā)布的團(tuán)購產(chǎn)品展開了用戶調(diào)查，每個(gè)用戶在使用了團(tuán)購產(chǎn)品后可以對該產(chǎn)品進(jìn)行打分，最高分是10分．上個(gè)月該網(wǎng)站共賣出了100份團(tuán)購產(chǎn)品，所有用戶打分的平均分作為該產(chǎn)品的參考分值，將這些產(chǎn)品按照得分分成以下幾組：第一組[0，2），第二組[2，4），第三組[4，6），第四組[6，8），第五組[8，10]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．
（Ⅰ）分別求第三，四，五組的頻率；
（Ⅱ）該網(wǎng)站在得分較高的第三，四，五組中用分層抽樣的方法抽取6個(gè)產(chǎn)品．
①已知甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品均在第三組，求甲、乙同時(shí)被選中的概率；
②某人決定在這6個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2個(gè)購買，設(shè)第4組中有X個(gè)產(chǎn)品被購買，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,分層抽樣方法,頻率分布直方圖,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）利用頻率分布直方圖能分別求出第三，四，五組的頻率．
（Ⅱ）①由題意可知，在分層抽樣的過程中第三組應(yīng)抽到=3個(gè)，而第三組共有30個(gè)，由此能求出甲乙兩產(chǎn)品同時(shí)被選中的概率．
②第四組共有X個(gè)產(chǎn)品被購買，由題意知X的取值為0，1，2，分別求出P（X=0），P（X=1），P（x=2），由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： （Ⅰ）解：第三組的頻率是0.150×2=0.3，
第四組的頻率是0.100×2=0.2，
第五組的頻率是0.050×2=0.1．…（3分）
（Ⅱ）①由題意可知，在分層抽樣的過程中第三組應(yīng)抽到6×0.5=3個(gè)，
而第三組共有100×0.3=30個(gè)，
∴甲乙兩產(chǎn)品同時(shí)被選中的概率為p=

C 1 28

C 3 30

=

1

145

．…（7分）
②第四組共有X個(gè)產(chǎn)品被購買，∴X的取值為0，1，2，
P（X=0）=

C 1 3 +C 2 3

C 2 6

=

6

15

，
P（X=1）=

C 1 3 C 1 2 +C 1 2

C 2 6

=

8

15

，
P（x=2）=

C 2 2

C 2 6

=

1

15

，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	2 5	8 15	1 15

…（10分）
EX=0×

2

5

+1×

8

15

+2×

1

15

=

2

3

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合的合理運(yùn)用．