Question

【題目】一種室內(nèi)植物的株高（單位：）與與一定范圍內(nèi)的溫度（單位：）有，現(xiàn)收集了該種植物的組觀測數(shù)據(jù)，得到如圖所示的散點(diǎn)圖：

現(xiàn)根據(jù)散點(diǎn)圖利用或建立關(guān)于的回歸方程，令，，得到如下數(shù)據(jù)：

且與的相關(guān)系數(shù)分別為、，其中．

（1）用相關(guān)系數(shù)說明哪種模型建立關(guān)于的回歸方程更合適；

（2）（i）根據(jù)（1）的結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程；

（ii）已知這種植物的利潤（單位：千元）與、的關(guān)系為，當(dāng)何值時(shí)，利潤的預(yù)報(bào)值最大.

附：對于樣本，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，，

相關(guān)系數(shù)，．

Answer 1

【答案】（1）用模型建立與的回歸方程更合適；（2）（i）；

（ii）當(dāng)溫度為時(shí)，這種草藥的利潤的預(yù)報(bào)值最大.

【解析】

（1）利用相關(guān)系數(shù)公式計(jì)算出相關(guān)系數(shù)的值，并比較、的大小關(guān)系，選擇相關(guān)系數(shù)絕對值較大的模型較好；

（2）（i）將相關(guān)數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式得出和的值，可得出關(guān)于的回歸方程；

（ii）先得出關(guān)于的函數(shù)解析式，然后利用基本不等式求出的最大值，并注意等號成立的條件，從而解答該問題.

（1）由相關(guān)系數(shù)公式可得

，

，所以用模型建立與的回歸方程更合適；

（2）（i）由題意可得，

，

因此，關(guān)于的回歸方程為；

（ii）由題意知，

由基本不等式可得，所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，

所以當(dāng)溫度為時(shí)，這種草藥的利潤的預(yù)報(bào)值最大.