【題目】已知常數(shù),函數(shù).
(1)討論在區(qū)間上的單調(diào)性;
(2)若存在兩個極值點,且,求的取值范圍.
【答案】(1)詳見解析 (2)
【解析】試題分析:(1)首先對函數(shù)求導并化簡得到導函數(shù),導函數(shù)的分母恒大于0,分子為含參的二次函數(shù),故討論分子的符號,確定導函數(shù)符號得到原函數(shù)的單調(diào)性,即分和得到導函數(shù)分子大于0和小于0的解集進而得到函數(shù)的單調(diào)性.
(2)利用第(1)可得到當時,導數(shù)等于0有兩個根,根據(jù)題意即為兩個極值點,首先導函數(shù)等于0的兩個根必須在原函數(shù)的可行域內(nèi),把關(guān)于的表達式帶入,得到關(guān)于的不等式,然后利用導函數(shù)討論的取值范圍使得成立.即可解決該問題.
(1)對函數(shù)求導可得
,因為,所以當時,即時, 恒成立,則函數(shù)在單調(diào)遞增,當時, ,則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增的.
(2)解:(1)對函數(shù)求導可得 ,因為,所以當時,即時, 恒成立,則函數(shù)在單調(diào)遞增,當時, ,則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增的.
(2)函數(shù)的定義域為,由(1)可得當時, ,則 ,即,則為函數(shù)的兩個極值點,代入可得
=
令,令,由知: 當時, , 當時, ,
當時, ,對求導可得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,則,即不符合題意.
當時, ,對求導可得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,則,即恒成立,
綜上的取值范圍為.
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【題目】已知集合,對于的一個子集,若存在不大于的正整數(shù),使得對中的任意一對元素、,都有,則稱具有性質(zhì).
(1)當時,試判斷集合和是否具有性質(zhì)?并說明理由;
(2)當時,若集合具有性質(zhì).
①那么集合是否一定具有性質(zhì)?并說明理由;
②求集合中元素個數(shù)的最大值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上存在兩個不同零點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】一種室內(nèi)植物的株高(單位:)與與一定范圍內(nèi)的溫度(單位:)有,現(xiàn)收集了該種植物的組觀測數(shù)據(jù),得到如圖所示的散點圖:
現(xiàn)根據(jù)散點圖利用或建立關(guān)于的回歸方程,令,,得到如下數(shù)據(jù):
且與的相關(guān)系數(shù)分別為、,其中.
(1)用相關(guān)系數(shù)說明哪種模型建立關(guān)于的回歸方程更合適;
(2)(i)根據(jù)(1)的結(jié)果及表中數(shù)據(jù),求關(guān)于的回歸方程;
(ii)已知這種植物的利潤(單位:千元)與、的關(guān)系為,當何值時,利潤的預報值最大.
附:對于樣本,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:,,
相關(guān)系數(shù),.
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【題目】設函數(shù).
(I)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(II)若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
(III)過坐標原點作曲線的切線,求切線的橫坐標.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為 .
(Ⅰ)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(Ⅱ)已知點,若點的極坐標為,直線經(jīng)過點且與曲線相交于兩點,設線段的中點為,求的值.
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【題目】甲、乙、丙、丁四位同學中僅有一人申請了北京大學的自主招生考試,當他們被問到誰申請了北京大學的自主招生考試時,甲說:“丙或丁申請了”;乙說:“丙申請了”;丙說:“甲和丁都沒有申請”;丁說:“乙申請了”,如果這四位同學中只有兩人說的是對的,那么申請了北京大學的自主招生考試的同學是______.
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【題目】已知函數(shù),其中;
(Ⅰ)若函數(shù)在處取得極值,求實數(shù)的值,
(Ⅱ)在(Ⅰ)的結(jié)論下,若關(guān)于的不等式,當時恒成立,求的值.
(Ⅲ)令,若關(guān)于的方程在內(nèi)至少有兩個解,求出實數(shù)的取值范圍.
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