Question

函數(shù)f（x）=a^x+log_ax在[1，2]上的最大值和最小值之差為|a²-a|+1，則a值為（　�。�

• A、2或

  1

  2

• B、2或4
• C、

  1

  2

  或4
• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知可知，函數(shù)y=a^x 和y=log_ax有相同的單調(diào)性，通過分0＜a＜1和a＞1兩種情況討論f（x）的單調(diào)性，分別求出其最大（�。┲�，列出關(guān)于a的方程求解．

解答： 解①當(dāng)a＞1時，函數(shù)y=a^x 和y=log_ax在[1，2]上都是增函數(shù)，
∴f（x）=a^x+log_ax在[1，2]上遞增，
∴f（x）_max-f（x）_min=f（2）-f（1）=a²+log_a2-a=|a²-a|+1=a²-a+1，
∴l(xiāng)og_a2=1，得a=2；
②當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)y=a^x 和y=log_ax在[1，2]上都是減函數(shù)，
∴f（x）=a^x+log_ax在[1，2]上遞減，
∴f（x）_max-f（x）_min=f（1）-f（2）=a-a²-log_a2=|a²-a|+1=a-a²+1，
∴l(xiāng)og_a2=-1，得a=

1

2

．
綜上，a的值為2或

1

2

．
故選A

點(diǎn)評：求函數(shù)的最值問題，一般利用函數(shù)的單調(diào)性來求；而對于指對函數(shù)研究其單調(diào)性時，要分底數(shù)a＞1或0＜a＜1進(jìn)行討論；同時本題還要注意根據(jù)a的范圍去掉絕對值符號達(dá)到化簡的目的．