Question

設(shè)a≥0，函數(shù)f（x）=[x²+（a-3）x-2a+3]e^x，g(x)=2-a-x-

4

x+1

．
（ I）當(dāng)a≥1時，求f（x）的最小值；
（ II）假設(shè)存在x₁，x₂∈（0，+∞），使得|f（x₁）-g（x₂）|＜1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）∵f'（x）=[x²+（a-1）x-a]e^x=（x+a）（x-1）e^x
∵a≥1，
∴x∈（-∞，-a）時，f（x）遞增，x∈（-a，1）時，f（x）遞減，x∈（1，+∞）時，f（x）遞增，
所以f（x）的極大值點為x₁=-a，極小值點為x₂=1，
而f（1）=（1-a）e≤0，f(-a)=

a+3

ea

＞0，
由于，對二次函數(shù)y=x²+（a-3）x-2a+3，對稱軸為x=

3-a

2

＞-a，y（-a）=a+3＞0，
∴當(dāng)x≤-a時，y=x²+（a-3）x-2a+3＞0，
∴f（x）＞0．             
當(dāng)x＞-a時，f（x）的最小值為f（1）=（1-a）e．
所以，f（x）的最小值是（1-a）e．                                     
（ II）由（Ⅰ）知f（x）在（0，+∞）的值域是：
當(dāng)a≥1時，為[（1-a）e，+∞），當(dāng)0＜a＜1時，為（0，+∞）．                
而g(x)=2-a-x-

4

x+1

在（0，+∞）的值域是為（-∞，-a-1），
所以，當(dāng)a≥1時，令（1-a）e-（-a-1）＜1，并解得a＞

e

e-1

，
當(dāng)0＜a＜1時，令0-（-a-1）＜1，無解．
因此，a的取值范圍是a＞

e

e-1

．