Question

6．點(diǎn)P在曲線C：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1上，若存在過點(diǎn)P的直線交曲線C于A點(diǎn)，交直線l：x=4于B點(diǎn)，且滿足|PA|=|PB|，則稱P點(diǎn)為“二中點(diǎn)”，那么下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A． 曲線C上的所有點(diǎn)都是“二中點(diǎn)”
• B． 曲線C上的僅有有限個(gè)點(diǎn)是“二中點(diǎn)”
• C． 曲線C上的所有點(diǎn)都不是“二中點(diǎn)”
• D． 曲線C上的有無窮多個(gè)點(diǎn)（但不是所有的點(diǎn)）是“二中點(diǎn)”

Answer 1

分析 設(shè)出-2≤x_A＜x_P≤2，利用相似三角形求得x_P和x_A的關(guān)系，設(shè)出PA的方程與橢圓方程聯(lián)立求得x_Ax_P的表達(dá)式，利用判別式大于0求得k和m的不等式關(guān)系，最后聯(lián)立①②③求得x_A的范圍，進(jìn)而通過x_P＜1時(shí)，x_A=2x_P-4＜-2，故此時(shí)不存在“二中點(diǎn)，進(jìn)而求得“二中點(diǎn)橫坐標(biāo)取值范圍，判斷出題設(shè)的選項(xiàng)．

解答 解：由題意，P、A的位置關(guān)系對(duì)稱，于是不妨設(shè)-2≤x_A＜x_P≤2，（此時(shí)PA=AB）．
由相似三角形，2|4-x_P|=|4-x_A|
即：x_A=2x_P-4…①
設(shè)PA：y=kx+m，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，整理得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
由韋達(dá)定理可知：x_Ax_P=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}-1}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}$，…②
∵△＞0
4k²＞m²-1…③
聯(lián)立①②③，得x_P²-2x_P＜$\frac{2}{1+\frac{1}{4{k}^{2}}}$，而0＜$\frac{2}{1+\frac{1}{4{k}^{2}}}$＜2
即x_P²-2x_P＜2
即1-$\sqrt{3}$≤x_P≤2
而當(dāng)x_P＜1時(shí)，x_A=2x_P-4＜-2，故此時(shí)不存在“二中點(diǎn)”，
∴“二中點(diǎn)”的橫坐標(biāo)取值為[-2，0]U[1，2]，
故曲線C上的有無窮多個(gè)點(diǎn)（但不是所有的點(diǎn)）是“二中點(diǎn)”．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查新定義的理解和運(yùn)用，考查直線與曲線的關(guān)系，直線與直線的交點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式的運(yùn)用，以及方程有解的條件，解題的關(guān)鍵是討論方程兩邊的范圍，屬于中檔題．