Question

（本小題滿分12分）

已知是等差數(shù)列的前n項和，數(shù)列是等比數(shù)列，恰為的等比中項，圓，直線，對任意，直線都與圓C相切.

（I）求數(shù)列的通項公式；

（II）若時，的前n項和為，求證：對任意，都有

Answer 1

（1），；（2）見解析.

【解析】

試題分析：（1）給出與的關系，求，常用思路：一是利用轉化為的遞推關系，再求其通項公式；二是轉化為的遞推關系，先求出與的關系，再求；由推時，別漏掉這種情況，大部分學生好遺忘;(2)一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列

的前項的和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后做差求解；（3）利用不等式放縮時掌握好規(guī)律，怎樣從條件證明出結論.

試題解析：

(Ⅰ) 圓的圓心為,半徑為,對任意,直線都與圓相切.

所以圓心到直線的距離為

所以 3分

得

所以, 4分

當時,

當時,

綜上,對任意, 5分

設等比數(shù)列的公比為,所以

恰為與的等比中項,,所以

,解得 7分

所以 8分

(Ⅱ) 時,

而時, 10分

所以 12分

考點：等差、等比數(shù)列的性質及應用.