Question

設(shè)不等式確定的平面區(qū)域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090811264456265032/SYS201209081127134103651092_ST.files/image002.png">，確定的平面區(qū)域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090811264456265032/SYS201209081127134103651092_ST.files/image004.png">

（1）定義橫、縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)為“整點(diǎn)”，在區(qū)域內(nèi)任取個(gè)整點(diǎn)，求這些整點(diǎn)中恰有個(gè)整點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)的概率；

（2）在區(qū)域內(nèi)任取個(gè)點(diǎn)，記這個(gè)點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)的個(gè)數(shù)為，求的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差．

 

Answer 1

【答案】

（1）．（2）的分布列為：

	0	1	2	3

的數(shù)學(xué)期望．

【解析】（1）由題意知本題是一個(gè)古典概型，用列舉法求出平面區(qū)域U的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)N，平面區(qū)域V的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為n，這些整點(diǎn)中恰有2個(gè)整點(diǎn)在區(qū)域V的概率

（1）依題可得：平面區(qū)域U的面積為：π•2²=4π，平面區(qū)域V的面積為： ×2×2=2，在區(qū)域U內(nèi)任取1個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)在區(qū)域V內(nèi)的概率為

易知：X的可能取值為0，1，2，3，則X∽B（3，） ，代入概率公式即可求得求X的分布列和數(shù)學(xué)期望和方差

（1）依題可知平面區(qū)域的整點(diǎn)有

共有13個(gè)，   ……2分

     平面區(qū)域的整點(diǎn)為共有5個(gè)，∴．……4分

（2）依題可得：平面區(qū)域的面積為：，平面區(qū)域的面積為：．

在區(qū)域內(nèi)任取1個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)的概率為，   ……1分  

法一：顯然，則，……3分

∴的分布列為：

	0	1	2	3

故，……3分

法二：的可能取值為，                     

 ．

∴的分布列為：

	0	1	2	3

的數(shù)學(xué)期望