Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax-1，a≠0
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若y=f（x）在x=1在處取得極值，直線y=m與y=f（x）的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）利用導數(shù)，討論確定f（x）的單調區(qū)間；（2）結合函數(shù)圖象可知，直線y=m與y=f（x）的圖象有三個不同的交點只需使m在兩個極值之間．

解答： 【答案】（1）由題知：f'（x）=3x²-3a=3（x²-a），
①當a＜0時，對?x∈R，恒有f'（x）＞0，
即當a＜0時，f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，+∞）．
②當a＞0時，
解f'（x）＞0得，x＞

a

或x＜-

a

，
解f'（x）＜0得，-

a

＜x＜

a

，
即當a＞0時，f（x）的單調遞減區(qū)間為（-

a

，

a

），
f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，-

a

）和（

a

，+∞）．
（2）∵y=f（x）在 x=1處取得極值，
∴f'（1）=3-3a=0，
則a=1．
即f（x））=x³-3x-1，f'（x）=3x²-3；
解f'（x）=0得，x=±1．
由（1）知：f（x）在x=-1處取得極大值f（-1）=1；在x=1處取得極小值f（1）=-3
∵直線y=m與y=f（x）函數(shù)的圖象有三個不同的交點，
結合f（x）的單調性可得，-3＜m＜1．
所以m的范圍為（-3，1）．

點評：本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)單調性的方法，同時也考查了分類討論和數(shù)形結合的思想．