【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)存在極大值,且極大值為1,證明:.
【答案】(1)答案見解析;(2)證明見解析.
【解析】
【試題分析】(1)當時,,故函數(shù)在上單調(diào)遞增.當或時,利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2) 由(Ⅰ)可知若函數(shù)存在極大值,則,且,解得, 由此求得函數(shù)的表達式.將所要證明的不等式轉化為證.構造函數(shù),利用二階導數(shù)求得函數(shù)的最小值大于或等于零.
【試題解析】
(Ⅰ)由題意,
當時,,函數(shù)在上單調(diào)遞增;
當時,函數(shù)單調(diào)遞增,,故當時,,當時,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,函數(shù)在上單調(diào)遞增;
當時,函數(shù)單調(diào)遞減,,故當時,,當時,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,函數(shù)在上單調(diào)遞減.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知若函數(shù)存在極大值,則,且,解得, 故此時,
要證,只須證,及證即可,
設,.
,令
,所以函數(shù)單調(diào)遞增,
又,,
故在上存在唯一零點,即.
所以當,, 當時,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,函數(shù)在上單調(diào)遞增,
故,
所以只須證即可,
由,得,
所以,又,所以只要即可,
當時,
所以 與矛盾,
故,得證.
(另證)
當時,
所以 與矛盾;
當時,
所以 與矛盾;
當時,
得,故 成立,
得,所以,即.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若,證明:;
(2)若,有且只有個零點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若,,,求正整數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某房地產(chǎn)公司新建小區(qū)有A、B兩種戶型住宅,其中A戶型住宅每套面積為100平方米,B戶型住宅每套面積為80平方米,該公司準備從兩種戶型住宅中各拿出12套銷售給內(nèi)部員工,表是這24套住宅每平方米的銷售價格:(單位:萬元平方米):
房號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
A戶型 | 2.6 | 2.7 | 2.8 | 2.8 | 2.9 | 3.2 | 2.9 | 3.1 | 3.4 | 3.3 | 3.4 | 3.5 |
B戶型 | 3.6 | 3.7 | 3.7 | 3.9 | 3.8 | 3.9 | 4.2 | 4.1 | 4.1 | 4.2 | 4.3 | 4.5 |
(1)根據(jù)表格數(shù)據(jù),完成下列莖葉圖,并分別求出A,B兩類戶型住宅每平方米銷售價格的中位數(shù);
A戶型 | B戶型 | |
2. | ||
3. | ||
4. |
(2)該公司決定對上述24套住房通過抽簽方式銷售,購房者根據(jù)自己的需求只能在其中一種戶型中通過抽簽方式隨機獲取房號,每位購房者只有一次抽簽機會,小明是第一位抽簽的員工,經(jīng)測算其購買能力最多為320萬元,抽簽后所抽得住房價格在其購買能力范圍內(nèi)則確定購買,否則,將放棄此次購房資格,為了使其購房成功的概率更大,他應該選擇哪一種戶型抽簽?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對定義在[0,1]上,并且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)f(x)稱為G函數(shù).
①對任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0;
②當x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1時,總有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.已知函數(shù)g(x)=x2與h(x)=2x﹣b是定義在[0,1]上的函數(shù).
(1)試問函數(shù)g(x)是否為G函數(shù)?并說明理由;
(2)若函數(shù)h(x)是G函數(shù),求實數(shù)b組成的集合.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為推動文明城市創(chuàng)建,提升城市整體形象,2018年12月30日鹽城市人民政府出臺了《鹽城市停車管理辦法》,2019年3月1日起施行.這項工作有利于市民養(yǎng)成良好的停車習慣,幫助他們樹立綠色出行的意識,受到了廣大市民的一致好評.現(xiàn)從某單位隨機抽取80名職工,統(tǒng)計了他們一周內(nèi)路邊停車的時間t(單位:小時),整理得到數(shù)據(jù)分組及頻率分布直方圖如下:
(1)從該單位隨機選取一名職工,試估計這名職工一周內(nèi)路邊停車的時間少于8小時的概率;
(2)求頻率分布直方圖中a,b的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)設時,求的導函數(shù)的遞增區(qū)間;
(2)設 ,求的單調(diào)區(qū)間;
(3)若 對 恒成立,求的取值范圍.
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