Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，側(cè)面PAB是邊長為2的正三角形，側(cè)面PAB⊥底面ABCD．
（Ⅰ）設(shè)AB的中點為Q，求證：PQ⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求斜線PD與平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在側(cè)棱PC上存在一點M，使得二面角M-BD-C的大小為60°，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由Q為側(cè)面正三角形PAB的邊AB的中點，可得PQ⊥AB，再利用面面垂直的性質(zhì)定理即可證明線面垂直；
（II）通過結(jié)論空間直角坐標(biāo)系，利用斜線的方向向量和平面的法向量的夾角即可得出；
（III）利用兩個平面的法向量的夾角即可得到二面角，進而解出．
解答：（Ⅰ）證明：∵側(cè)面PAB是正三角形，AB的中點為Q，∴PQ⊥AB，
∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，側(cè)面PAB∩底面ABCD=AB，PQ?側(cè)面PAB，
∴PQ⊥平面ABCD．
（Ⅱ）連接AC，設(shè)AC∩BD=O，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則O（0，0，0），，C（0，1，0），，，
，平面ABCD的法向量，
設(shè)斜線PD與平面ABCD所成角的為α，
則．
（Ⅲ）設(shè)=，
則M，=，，
設(shè)平面MBD的法向量為，
則，，
取，得，又平面ABCD的法向量．
∴，∴，
解得t=2（舍去）或．
所以，此時=．
點評：熟練掌握正三角形的性質(zhì)、面面垂直的性質(zhì)定理、線面垂直的判定定理、通過建立空間直角坐標(biāo)系利用斜線的方向向量和平面的法向量的夾角得出線面角、利用兩個平面的法向量的夾角即可得到二面角是解題的關(guān)鍵．