Question

如圖，有一塊半徑為2的半圓形鋼板，計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是圓O的直徑，上底CD的端點在圓周上．
（1）求梯形ABCD的周長y與腰長x間的函數(shù)解析式，并求出它的定義域；
（2）求梯形ABCD的周長y的最大值．

Answer 1

分析：（1）作DE⊥AB于E，連接BD，根據(jù)相似關(guān)系求出AE，而CD=AB-2AE，從而求出梯形ABCD的周長y與腰長x間的函數(shù)解析式，根據(jù)AD＞0，AE＞0，CD＞0可求出定義域；
（2）利用二次函數(shù)在給定區(qū)間上求出最值的知識可求出函數(shù)的最大值．

解答：解：（1）如圖，作DE⊥AB于E，連接BD．
因為AB為直徑，所以∠ADB=90°．（1分）
在Rt△ADB與Rt△AED中，∠ADB=90°=∠AED，∠BAD=∠DAE，
所以Rt△ADB∽Rt△AED．（3分）
所以

AD

AB

=

AE

AD

，即AE=

AD2

AB

．
又AD=x，AB=4，所以AE=

x2

4

．（5分）
所以CD=AB-2AE=4-2×

x2

4

=4-

x2

2

，（6分）
于是y=AB+BC+CD+AD=4+x+4-

x2

2

+x=-

1

2

x2+2x+8（7分）
由于AD＞0，AE＞0，CD＞0，所以x＞0，

x2

4

＞0，4-

x2

2

＞0，
解得0＜x＜2

2

．（9分）
故所求的函數(shù)為y=-

1

2

x2+2x+8(0＜x＜2

2

)．（10分）
（2）因為y=-

1

2

x2+2x+8=-

1

2

(x-2)2+10，（12分）
又0＜x＜2

2

，所以，當(dāng)x=2時，y有最大值10．（14分）

點評：射影定理的應(yīng)用是解決此題的關(guān)鍵，二次函數(shù)在解決實際問題中求解最值的常用的方法，屬于中檔題．