Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中點(diǎn)，CB的延長線交過A、B、D三點(diǎn)的圓于點(diǎn)E．
（1）判斷線段AE與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（2）若過A、B、D三點(diǎn)的圓記為⊙O，過E點(diǎn)作⊙O的切線交AC的延長線于點(diǎn)F，且CD：CF=1：2，求：cosF的值．

Answer 1

分析：（1）連接BD，由于點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線是斜邊的一半知，BD=CD?∠CBD=∠DCB，又根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)“圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角”知∠CBD=∠CAE，故∠CAE=∠ACE?AE=CE；
（2）由于CD：CF=1：2和CD=

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AC，故有AC=CF，即點(diǎn)C是Rt△AEF的斜邊上的中點(diǎn)，有AC=CE，由1中的AE=CE知，AE=CE=AC，故△ACE是等邊三角形，∠F=30°，即可求得cosF的值．

解答：（1）AE=CE；
證明：接結(jié)BD，
∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∠ABC=90°，
∴BD=CD，
∴∠CBD=∠DCB，
又∵四邊形ADBE是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠CBD=∠CAE，
∴∠CAE=∠ACE，
∴AE=CE；

（2）解：∵∠ABE=90°，
∴AE是直徑，
∵EF是過點(diǎn)E的切線，
∴∠AEF=90°；
∵CD：CF=1：2，CD=

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AC，
∴AC=CF，點(diǎn)C是Rt△AEF的斜邊上的中點(diǎn)，
∴AC=CE，
由1中的AE=CE知，AE=CE=AC，
∴△ACE是等邊三角形，∠FAE=60°，
∴∠F=30°，cosF=

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點(diǎn)評：本題利用了直角三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊對等角，切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)求解．