Question

已知數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，S_n為其前n項(xiàng)和，且滿足a_n²=S_2n-1，令，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n；
（2）是否存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把等差數(shù)列的求和公式代入a_n²=S_2n-1整理后可求得a_n，代入利用裂項(xiàng)法求得T_n．
（2）根據(jù)（1）中求得T_n分別表示出T₁，T_m，T_n根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)建立等式，化簡(jiǎn)整理即可求得m的范圍，進(jìn)而根據(jù)m和n均為正整數(shù)求得m，進(jìn)而n
解答：解：（1）因?yàn)閧a_n}是等差數(shù)列，
由，
又因?yàn)閍_n≠0，所以a_n=2n-1，
由，
所以．
（2）由（1）知，，
所以，
若T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列，則，
即．
由，
可得，
所以-2m²+4m+1＞0，
從而：，又m∈N，且m＞1，
所以m=2，此時(shí)n=12．
故可知：當(dāng)且僅當(dāng)m=2，n=12使數(shù)列{T_n}中的T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和實(shí)際運(yùn)算能力．