Question

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線x²＋y²＋2x－6y＋1＝0上有兩點(diǎn)P、Q，滿足關(guān)于直線x＋my＋4＝0對(duì)稱，又滿足

(1)求m的值；

(2)求直線PQ的方程．

Answer 1

[解析]　(1)曲線方程為(x＋1)²＋(y－3)²＝9表示圓心為(－1,3)，半徑為3的圓．

∵點(diǎn)P、Q在圓上且關(guān)于直線x＋my＋4＝0對(duì)稱，

∴圓心(－1,3)在直線上，代入得m＝－1.

(2)∵直線PQ與直線y＝x＋4垂直，

∴設(shè)P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)，PQ方程y＝－x＋b

將直線y＝－x＋b代入圓方程，得

2x²＋2(4－b)x＋b²－6b＋1＝0

Δ＝4(4－b)²－4×2×(b²－6b＋1)＞0，得

2－3＜b＜2＋3.

由韋達(dá)定理得

x₁＋x₂＝b－4①，x₁x₂＝②

即2x₁x₂－b(x₁＋x₂)＋b²＝0

將①②代入得：b²－6b＋1－b²＋4b＋b²＝0

解得b＝1，經(jīng)驗(yàn)證知符合題意

∴PQ方程為y＝－x＋1.