Question

已知f（log₂x）=ax²-2x+1-a，a∈R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的值域

專題：分類討論,換元法,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用換元法求出f（x）的解析式；
（2）討論a的取值，求出f（x）的值域來(lái)．

解答： 解：（1）∵f（log₂x）=ax²-2x+1-a，a∈R．
設(shè)t=log₂x，則x=2^t，
∴f（t）=a•（2^t）²-2•2^t+1-a
=a•2^2t-2^t+1+1-a，
即f（x）=a•2^2x-2^x+1+1-a；
（2）∵f（x）=a•2^2x-2^x+1+1-a；
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-2^x+1+1＜1；
當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）=a（2^2x-

2

a

•2^x+

1

a2

）-

1

a

+1-a
=a(2x-

1

a

)2-

a2-a+1

a

；
若a＞0，令2^x=

1

a

，∴f（x）≥-

a2-a+1

a

；
若a＜0，則2^x＞0，∴f（x）＜a•(-

1

a

)2-

a2-a+1

a

=-a+1；
∴a=0，f（x）的值域是（-∞，1），
a＞0時(shí)，f（x）的值域是[-

a2-a+1

a

，+∞），
a＜0時(shí)，f（x）的值域是（-∞，-a+1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用換元法求函數(shù)解析式的問(wèn)題，也考查了分類討論求函數(shù)值域的問(wèn)題，是綜合題目．