Question

下列函數(shù)中既有奇函數(shù)，又在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞增的是（　　）

• A、f（x）=sin2x
• B、f（x）=x+tanx
• C、f（x）=x³-x
• D、f（x）=2^x+2^-x

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：直接結(jié)合函數(shù)奇偶性的概念和常見函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行逐個(gè)判斷即可．

解答：解：對于選項(xiàng)A：
∵f（x）=sin2x，
∴f（-x）=sin（-2x）=-sin2x=f（x）
∴f（x）為奇函數(shù)，
且該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[-

π

4

+kπ，

π

4

+kπ]，（k∈Z），
∴[-

π

4

，

π

4

]上為增函數(shù)，
∴在區(qū)間[-1，1]上不是單調(diào)遞增，
∴選項(xiàng)A不符合條件；
對于選項(xiàng)B：
∵f（x）=x+tanx，
∴f（-x）=-x+tan（-x）=-（x+tanx）=-f（x）
∴f（x）為奇函數(shù)，
在區(qū)間[-1，1]上是單調(diào)遞增，
∴選項(xiàng)B符合條件；
對于選項(xiàng)C：
f（x）=x³-x，
f（-x）=（-x）³-（-x）=-（x³-x）=-f（x），]
∵f′（x）=3x²-1，
f′（x）≥0，
∴x≥

3

3

，
∴[

3

3

，+∞）上為增函數(shù)，
∴在區(qū)間[-1，1]上不是單調(diào)遞增，
∴選項(xiàng)C不符合條件；
對于選項(xiàng)D：
∵f（x）=2^x+2^-x，
∴f（-x）=2^-x+2^x=f（x），
∴f（x）為偶函數(shù)，
∴選項(xiàng)D不符合條件；
故選B．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查函數(shù)的基本性質(zhì)，對于奇偶性和單調(diào)性需要切實(shí)注意區(qū)間的對稱性問題，屬于基礎(chǔ)題．