Question

17．某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y（單位：千克）與銷售價(jià)格x（單位：元/千克）滿足關(guān)系式y(tǒng)=$\frac{a}{x-3}$+10（x-6）²，其中3＜x＜6，a為常數(shù)．已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品12千克．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若該商品的成品為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大，并求出此時(shí)的最大利潤(rùn)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)將x=5時(shí)y=12代入函數(shù)解析式計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過(guò)（Ⅰ）可知y=$\frac{4}{x-3}$+10（x-6）²，利用“利潤(rùn)=銷售收入-成本”代入計(jì)算可知利潤(rùn)f（x）=4+10（x-3）（x-6）²，通過(guò)求導(dǎo)考查f（x）在區(qū)間（3，6）上的單調(diào)性，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）依題意，12=$\frac{a}{5-3}$+10×（5-6）²，
解得：a=4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知y=$\frac{4}{x-3}$+10（x-6）²，
當(dāng)該商品的成品為3元/千克時(shí)，記商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)為f（x），
則f（x）=（x-3）y=（x-3）[$\frac{4}{x-3}$+10（x-6）²]=4+10（x-3）（x-6）²，
∴f（x）′=30（x-4）（x-6），
又∵3＜x＜6，
∴f（x）在區(qū)間（3，4）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（4，6）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=4時(shí)f（x）取最大值f（4）=4+10×（4-3）（4-6）²=44，
∴當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí)商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為44元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查是一道關(guān)于函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．