Question

10．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}，f（x）＞0．滿(mǎn)足f（x•y）=f（x）•f（y），且在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，若m滿(mǎn)足f（log₃m）+f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$m）≤2f（1），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． [1，3]
• B． （0，$\frac{1}{3}$]
• C． [0，$\frac{1}{3}$﹚∪（1，3]
• D． [$\frac{1}{3}$，1）∪（1，3]

Answer 1

分析 由條件令x=y=1可得f（1）=1．令x=y=-1，則f（-1）=1．令y=-1，則f（-x）=f（x）f（-1）=f（x），即有f（x）為偶函數(shù)，原不等式即為2f（log₃m）≤2f（1），則f（|log₃m|）≤f（1），由于f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，則|log₃m|≤1，且log₃m≠0，解出即可．

解答 解：由于f（x•y）=f（x）•f（y），f（x）＞0，
則令x=y=1可得f（1）=f²（1），即有f（1）=1．
令x=y=-1，則f（1）=f²（-1）=1，則f（-1）=1．
令y=-1，則f（-x）=f（x）f（-1）=f（x），即有f（x）為偶函數(shù)，
由f（log₃m）+f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$m）≤2f（1），即為f（log₃m）+f（-log₃m）≤2f（1），
即2f（log₃m）≤2f（1），
則f（|log₃m|）≤f（1），
由于f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，
則|log₃m|≤1，且log₃m≠0解得$\frac{1}{3}$≤m＜1或1＜m≤3．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)及應(yīng)用，考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及運(yùn)用，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，及解對(duì)數(shù)不等式的能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．