Question

已知函數(shù)f（x）=2cosωx（sinωx-cosωx）+1（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-f（

π

4

-x），求函數(shù)g（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析：通過(guò)二倍角公式以及兩角差的正弦函數(shù)，化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，
（1）通過(guò)正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸直接求函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程，利用正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）利用函數(shù)g（x）=f（x）-f（

π

4

-x），求出函數(shù)g（x）的表達(dá)式，求出2x-

π

4

的范圍，然后求解函數(shù)在區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上的最小值和最大值．

解答：解：f（x）=2cosωx（sinωx-cosωx）+1=sin2ωx-cos2ωx=

2

sin（2ωx-

π

4

）．
由于函數(shù)f（x）的最小正周期為T(mén)=

2π

2ω

=π，故ω=1，即函數(shù)f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）．
（1）令2x-

π

4

=kπ+

π

2

（k∈Z），得x=

kπ

2

+

3π

8

（k∈Z），
即為函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程．
令

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），得

3π

8

+kπ≤x≤

7π

8

+kπ（k∈Z），
即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[

3π

8

+kπ，

7π

8

+kπ]（k∈Z）．
（2）g（x）=f（x）-f（

π

4

-x）=

2

sin（2x-

π

4

）-

2

sin[2（

π

4

-x）-

π

4

]=2

2

sin（2x-

π

4

），
由于x∈[

π

8

，

3π

4

]，則0≤2x-

π

4

≤

5π

4

，
故當(dāng)2x-

π

4

=

π

2

即x=

3π

8

時(shí)函數(shù)g（x）取得最大值2

2

，當(dāng)2x-

π

4

=

5π

4

即x=

3π

4

時(shí)函數(shù)g（x）取得最小值-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的基本知識(shí)，兩角差的正弦函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸與單調(diào)減區(qū)間的求法，函數(shù)的最值的求解，考查計(jì)算能力．