Question

已知函數(shù)f（x）=kx²+（3+k）x+3，其中k為常數(shù)，（k∈R）
（1）若函數(shù)f（x）滿足f（2）=3，
①求函數(shù)f（x）在[-1，4]上的最大值和最小值；
②若f（x）＜mx+7對任意x∈R上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)k≥0時，討論函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，4]上的單調(diào)性．

Answer 1

考點：函數(shù)最值的應(yīng)用,函數(shù)與方程的綜合運用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）①確定函數(shù)解析式，利用配方法，即可函數(shù)f（x）在[-1，4]上的最大值和最小值；
②x²+（m+2）x+4＞0對任意x∈R上恒成立，可得實數(shù)m的取值范圍；
（2）分類討論，結(jié)合函數(shù)的對稱軸，即可討論函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，4]上的單調(diào)性．

解答： 解：（1）由f（2）=4k+（3+k）×2+3=3，解得k=-1，∴f（x）=-x²+2x+3（2分）
①f（x）=-x²+2x+3=-（x-1）²+4（3分）（如果求對稱軸也給1分）
∵x∈[-1，4]
所以當(dāng)x=1時，f（x）取得最大值為f（1）=4（4分）
當(dāng)x=4時，f（x）取得最小值為f（4）=-5（5分）
②由f（x）＜mx+7對任意x∈R上恒成立，
即x²+（m+2）x+4＞0對任意x∈R上恒成立，（6分）
所以△=（m+2）²-16＜0，解得-2＜m＜6（8分）
（2）當(dāng)k=0時，f（x）=3x+3，此時f（x）在[-1，4]上是增函數(shù)  （9分）
當(dāng)k＞0時，f（x）圖象是開口向上，對稱軸方程為x=-

3+k

2k

的拋物線，
顯然-

3+k

2k

＜0（10分）
①當(dāng)-

3+k

2k

≤-1時，即0＜k≤3時，函數(shù)f（x）在[-1，4]上是增函數(shù)  （11分）
②當(dāng)-

3+k

2k

＞-1時，即k＞3時，函數(shù)f（x）在[-1，-

3+k

2k

]上是減函數(shù)，在(-

3+k

2k

，4]上是增函數(shù) （13分）
綜上，當(dāng)k≥0時，函數(shù)f（x）在[-1，4]上是增函數(shù)；當(dāng)k＞3時，函數(shù)f（x）在[-1，-

3+k

2k

]上是減函數(shù)，在(-

3+k

2k

，4]上是增函數(shù)  （14分）

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．