Question

已知函數f（x）=2x²-（k²+k+1）x+15，g（x）=k²x-k，其中k∈R．
（1）若f（x）+g（x）≥0，對x∈[1，4）恒成立，求實數k的取值范圍；
（2）設函數q（x）=

g(x)，x≥0 f(x)，x＜0

是否存在實數k，對任意給定的非零實數x₁，存在唯一的非零實數x₂（x₂≠x₁），使得q（x₂）=q（x₁）？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,二次函數的性質

專題：導數的綜合應用

分析：（1）將問題轉化為k≤

2x2-x+15

x+1

對x∈[1，4）恒成立，令p（x）=

2x2-x+15

x+1

，（x∈[1，4]），通過求導得出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的最小值，進而得出答案；
（2）根據q（x）的解析式可得k≠0，當x≥0時，求得q（x）的值域當x＜0時，求得q（x） 的值域，①當x₂＞0時，
可得k≤-15；②當x₂＜0時，可得k≥-15，結合①②可得k的值．

解答： 解：（1）由題意可得 f（x）+g（x）=2x²-（k+1）x+15-k≥0對x∈[1，4）恒成立，
?k≤

2x2-x+15

x+1

對x∈[1，4）恒成立，
令p（x）=

2x2-x+15

x+1

，（x∈[1，4]），
∴p′（x）=

2x2+4x-16

(x+1)2

，
令p′（x）＞0，解得：2＜x≤4，
令p′（x）＜0，解得：1≤x＜2，
∴p（x）在[1，2）遞減，在（2，4]遞增，
∴p（x）_min=p（2）=7，
∴k≤7．
（2）函數設函數q（x）=

g(x)，x≥0 f(x)，x＜0

，
即 q（x）=

k2x-k，x≥0 2x2-(k2+k+1)x+15，x＜0

，
顯然，k=0不滿足條件，故k≠0．
當x≥0時，q（x）=k²x-k∈[-k，+∞）．
當x＜0時，q（x）=2x²-（k²+k+1）x+15∈（15，+∞）．
記A=[-k，+∞），記 B=（15，+∞）．
①當x₂＞0時，q（x）在（0，+∞）上是增函數，要使q（x₂）=q（x₁），則x₁＜0，且A?B，
故-k≥15，解得 k≤-15．
②當x₂＜0時，q（x）在（-∞，0）上是減函數，要使q（x₂）=q（x₁），則x₁＞0，且B?A，
故-k≤15，解得 k≥-15．
綜上可得，k=-15滿足條件．

點評：本題主要考查函數恒成立問題，導數的應用，考查函數的單調性的應用，體現了化歸與轉化、以及分類討論的數學思想，屬于中檔題．