Question

已知定義在R上的函數(shù) f （x）=x²（ax-3），其中a為常數(shù)．
（1）若x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）當(dāng)a=

1

3

時(shí)，令h（x）=f′（x）+6x．求證：當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h（x）≥2elnx（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析：（1）由x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)則知f'（1）=0，代入導(dǎo)函數(shù)即可求a的值；
（2）欲求函數(shù)f（x）的單調(diào)性，先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），再解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，本題需討論a與0的關(guān)系；
（3）先求出h（x）的解析式，要證：h（x）≥2elnx  （ x＞0），只需證：h（x）-2elnx≥0  （x＞0），即證x²-2elnx≥0，然后利用導(dǎo)數(shù)研究不等式左側(cè)函數(shù)的最小值即可證得結(jié)論．

解答：解：（1）∵f（x）=ax³-3x²，
∴f'（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），
∵x=1是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，
∴f'（1）=0，
∴a=2；
（2）①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-3x²，
此時(shí)，f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，在（0，+∞）上是減函數(shù)；
②當(dāng)a≠0時(shí)，f′（x）=3ax（x-

2

a

），令f′（x）=0，得x=0，x=

2

a

，
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（-∞，0）和（

2

a

，+∞）上是增函數(shù)，在（0，

2

a

）上是減函數(shù)，
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（-∞，

2

a

）和（0，+∞）上是減函數(shù)，在（

2

a

，0）上是增函數(shù)；
（3）當(dāng)a=

1

3

時(shí)，f（x）=

1

3

x3-3x2，f′（x）=x²-6x，h（x）=f′（x）+6x=x²，
要證：h（x）≥2elnx  （ x＞0），只需證：h（x）-2elnx≥0  （x＞0），即證x²-2elnx≥0，
設(shè)F（x）=x²-2elnx，得F′（x）=2x-

2e

x

=

2 (x+ e ) (x- e )

x

，
令F′（x）=0，得x=

e

，x=-

e

（ 舍去），
∴F（x）在（0，

e

）上是減函數(shù)，在（

e

，+∞）上是增函數(shù)，
∴F（x）_min=F（x）_極小值=F（

e

）=

e

2-2eln

e

=0，
∴F（x）≥F（x）_min=0，即x²-2elnx≥0，∴原不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)及證明，其中熟練掌握函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號(hào)之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．另外還有分類討論的思想，屬于中檔題．