Question

(本小題滿分12分)
如圖，三棱錐中，底面于，
，點，點分別是的中點.

(1) 求證：側面⊥側面;
(2) 求點到平面的距離;
(3) 求異面直線與所成的角的余弦.

Answer 1

（1）證明略
（2）4
（3）

（1）以所在直線為軸，所在直線軸，建立空間直角坐標系，由條件可設
(0,0,4), (0,0,0), (0,–4，0)，(4,–4,0);
則（0,–2,2），（2,–2，2）,                    --- 2分
平面的法向量(1,0,0 ), 而,
因為, 所以側面⊥側面;                            --- 2分
(或 ∵ 底面， ∴ 平面⊥平面，               --- 2分
又∵ ⊥，∴ ⊥平面, ∴ 側面⊥側面;) .     --- 2分
(2) 在等腰直角三角形中, , 又中位線, 而由(1)
⊥平面, 則⊥平面, ∴ ,                    --- 2分
所以平面, 那么線段即為點到平面的距離. --- 2分
（3）由(1)所建坐標系, 得=(–4,2,2), =（2,–2，2）,
∴·="–16," 又||·||=24,                             --- 2分
<,>=–,
∴ 與所成的角的余弦值是.          --- 2分