Question

【題目】設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)于任意都有，記為數(shù)列的前項(xiàng)和.

（1）計(jì)算的值；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)，若為單調(diào)遞增數(shù)列，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）.

【解析】

（1）代入，可得，從而求得；代入得，可求得；代入，可得，可求得；

（2）將兩式作差整理可得；根據(jù)可整理得，進(jìn)而得到，可知數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得結(jié)果；

（3）將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，則只需；分別在為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況下得到和恒成立，通過求得右側(cè)的最小值和最大值求得的范圍.

（1）當(dāng)時(shí)，，又各項(xiàng)均為正數(shù)

當(dāng)時(shí)，，即，解得：

當(dāng)時(shí)，，即，解得：

（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，

當(dāng)且時(shí)，……①

……②

①②得：

…③，則…④

③④得：

數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列

（3）由（2）知：

若為單調(diào)增數(shù)列，則恒成立

即

只需

①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，只需恒成立

當(dāng)時(shí)，的最小值為

②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，只需

當(dāng)時(shí)，的最大值為

綜上所述：的取值范圍為