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數列{an}的前n項和為Sn，且a1=2，an+1=
1
3
an+2n+
5
3
(n∈N+)．
（1）若等差數列{bn}恰好使數列{an+bn}成公比為
1
3
的等比數列，求通項bn
（2）求通項an
（3）求
lim
n→∞
Sn
n2
的值．
（1）因為a1=2，an+1=
1
3
an+2n+
5
3
(n∈N+)，
所以an+1-3(n+1)+2=
1
3
(an-3n+2)，(n∈N+)，
所以數列{an-3n+2}以1為首項，
1
3
為公比的等比數列，
所以bn=-3n+2時，等差數列{bn}恰好使數列{an+bn}成公比為
1
3
的等比數列．
（2）由（1）可知數列{an-3n+2}以1為首項，
1
3
為公比的等比數列，
所以an-3n+2=（
1
3
）n-1，所以an=（
1
3
）n-1+3n-2
（3）由（2）可知，數列{an}的前n項和為：
Sn=
1-(
1
3
)n
1-
1
3
+
3n(1+n)
2
-2n=
3
2
-
3
2
(
1
3
)n+
3n(1+n)
2
-2n；
∴
lim
n→∞
Sn
n2
=
lim
n→∞
3
2
-
3
2
(
1
3
)n+
3n(1+n)
2
-2n
n2
=
3
2
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設等比數列{an}的公比q≠1，Sn表示數列{an}的前n項的和，Tn表示數列{an}的前n項的乘積，Tn（k）表示{an}的前n項中除去第k項后剩余的n-1項的乘積，即Tn（k）=
Tn
ak
（n，k∈N+，k≤n），則數列
SnTn
Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)
的前n項的和是
a12
2-q-q-1
（n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
）
a12
2-q-q-1
（n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
）
（用a1和q表示）

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科目：高中數學 來源： 題型：

若數列{an}的通項an=
1
pn-q
，實數p，q滿足p＞q＞0且p＞1，sn為數列{an}的前n項和．
（1）求證：當n≥2時，pan＜an-1；
（2）求證sn＜
p
(p-1)(p-q)
(1-
1
pn
)；
（3）若an=
1
(2n-1)(2n+1-1)
，求證sn＜
2
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知Sn是數列{an}的前n項和，an＞0，Sn=
a
2
n
+an
2
，n∈N*，
（1）求證：{an}是等差數列；
（2）若數列{bn}滿足b1=2，bn+1=2an+bn，求數列{bn}的通項公式bn．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•商丘二模）數列{an}的前n項和為Sn，若數列{an}的各項按如下規(guī)律排列：
1
2
，
1
3
，
2
3
，
1
4
，
2
4
，
3
4
，
1
5
，
2
5
，
3
5
，
4
5
…，
1
n
，
2
n
，…，
n-1
n
，…有如下運算和結論：
①a24=
3
8
；
②數列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等比數列；
③數列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…的前n項和為Tn=
n2+n
4
；
④若存在正整數k，使Sk＜10，Sk+1≥10，則ak=
5
7
．
其中正確的結論是
①③④
①③④
．（將你認為正確的結論序號都填上）

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科目：高中數學 來源： 題型：

給出下列命題：
①若數列{an}的前n項和Sn=2n+1，則數列{an}為等比數列；
②在△ABC中，如果A=60°，a=
6
，b=4，那么滿足條件的△ABC有兩解；
③設函數f（x）=x|x-a|+b，則函數f（x）為奇函數的充要條件是a2+b2=0；
④設直線系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），則M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等．
其中真命題的序號是
③
③
．

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