Question

4．下列函數(shù)在[0，$\frac{π}{2}$]上是增函數(shù)的是（　　）

• A． y=sin2x-cos2x
• B． y=sin2x+cos2x
• C． y=sin2x-2cosx
• D． y=sin2x+2cosx

Answer 1

分析 化簡選項(xiàng)中的函數(shù)，判斷函數(shù)是否在[0，$\frac{π}{2}$]上是增函數(shù)即可．

解答 解：對(duì)于A，函數(shù)y=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，函數(shù)y不是增函數(shù)；
對(duì)于B，函數(shù)y=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，函數(shù)y不是增函數(shù)；
對(duì)于C，函數(shù)y=sin2x-2cosx，
y′=2cos2x+2sinx=2（1-2sin²x）+2sinx=-4${（sinx-\frac{1}{4}）}^{2}$+$\frac{9}{4}$≥-4×${（1-\frac{1}{4}）}^{2}$+$\frac{9}{4}$=0，
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，y′≥0恒成立，函數(shù)y是增函數(shù)；
對(duì)于D，函數(shù)y=sin2x+2cosx，
y′=2cos2x-2sinx=-4${（sinx+\frac{1}{4}）}^{2}$+$\frac{9}{4}$≥-4×${（1+\frac{1}{4}）}^{2}$+$\frac{9}{4}$=-4，
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，y′≥0不恒成立，函數(shù)y不是增函數(shù)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡與單調(diào)性問題，屬于中檔題．