Question

【題目】如圖，在正四棱柱中，已知AB＝2， ，

E、F分別為、上的點(diǎn)，且.

(1)求證：BE⊥平面ACF；

(2)求點(diǎn)E到平面ACF的距離．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

分析：（1）以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，要證明線(xiàn)與面垂直，只需證明這條直線(xiàn)與平面上的兩條直線(xiàn)垂直即可；（2）為平面的一個(gè)法向量，向量在上的射影長(zhǎng)即為到平面的距離，根據(jù)點(diǎn)到面的距離公式可得到結(jié)論.

詳解：(1)證明：以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線(xiàn)分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、D1(0,0,5)、E(0,0,1)、F(2,2,4)．

∴＝(－2,2,0)、＝(0,2,4)、＝(－2，－2,1)、＝(－2，0,1)．

∵·＝0，·＝0，

∴BE⊥AC，BE⊥AF，且AC∩AF＝A.

∴BE⊥平面ACF.

(2)由(1)知，為平面ACF的一個(gè)法向量，

∴點(diǎn)E到平面ACF的距離d＝＝.

故點(diǎn)E到平面ACF的距離為.