Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)且時(shí)，證明：.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】分析：（1）先求導(dǎo)，再對(duì)m分類(lèi)討論，求函數(shù)f(x)的單調(diào)性.(2)先把問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化，，再構(gòu)造函數(shù)設(shè)函數(shù)求即得證.

詳解：（1）的定義域?yàn)?/span>，

①當(dāng)時(shí)，；

②當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，

綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.

（2）當(dāng)時(shí)，，

設(shè)函數(shù)，則，記，，

則，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

	-	0	+
	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由上表可知而，

由，知，所以，所以，即，

所以在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，

即當(dāng)且時(shí)，，

所以當(dāng)且時(shí)，總有.