Question

已知橢圓過點(diǎn)，橢圓左右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，為等邊三角形.定義橢圓C上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）求的最大值；

（3）直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn),若點(diǎn)A、B的“伴隨點(diǎn)”分別是P、Q,且以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O.橢圓C的右頂點(diǎn)為D，試探究ΔOAB的面積與ΔODE的面積的大小關(guān)系,并證明.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）的面積是定值

【解析】

試題分析：解：（1）由已知，解得 ,方程為.4分

（2）當(dāng)時(shí)，顯然，由橢圓對稱性，只研究即可，

設(shè)（），于是            5分

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)） 8分

（3） 設(shè),則;

1)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)方程為,

由 得: ；

有  ①          10分

由以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O可得: ；

整理得:   ②

將①式代入②式得: ,              12分

 

又點(diǎn)到直線的距離

===

所以                   14分

2) 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),設(shè)方程為

聯(lián)立橢圓方程得: ；

代入得；

,    

綜上: 的面積是定值 

又的面積也為,所以二者相等.                  16分

考點(diǎn)：橢圓的方程與性質(zhì)

點(diǎn)評：主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于中檔題。