Question

設(shè)f（x）為二次函數(shù)，f（0）=3，f（x+1）-f（x）=4x+2
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在區(qū)間[-2，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=3，f（x+1）-f（x）=4x+2，構(gòu)造關(guān)于a，b，c的方程組，解方程組求出a，b，c的值，可得f（x）的解析式；
（2）結(jié)合（1）中函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得f（x）在區(qū)間[-2，1]上的最大值和最小值．

解答： 解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=3，f（x+1）-f（x）=4x+2
∴

c=3 a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=4x+2

即

c=3 2ax+a+b=4x+2

即

2a=4 a+b=2 c=3

解得：

a=2 b=0 c=3

∴f（x）=2x²+3
（2）∵f（x）=2x²+3的圖象是開口朝上且以y軸為對稱軸的拋物線
故f（x）在區(qū)間[-2，0]上為減函數(shù)，在區(qū)間[0，1]上為增函數(shù)
故在區(qū)間[-2，1]上，當(dāng)x=0時，f（x）取最小值3
當(dāng)x=-2時，f（x）取最大值11

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的解析式，并熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．