Question

19．若曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{y|y|}{9}$=1和曲線kx+y-3=0有三個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍是（-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 由題意，y≥0，$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1，y＜0，$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{9}$=1，漸近線方程為y=±$\frac{3}{2}$，作出圖象，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，y≥0，$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1，y＜0，$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{9}$=1，漸近線方程為y=±$\frac{3}{2}$，
如圖所示，曲線kx+y-3=0與$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{9}$=1聯(lián)立，可得（9-4k²）x²+24kx-72=0，
∴△=（24k）²+288（9-4k²）=0，
∴k=±$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
結(jié)合圖象，可得k的取值范圍是（-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$），
故答案為：（-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線與方程，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．