Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}-ax}{lnx}$
（1）若f（x）＞0對其定義域內(nèi)任意x成立，求a的值；
（2）當a=0時，求f（x）在區(qū)間[e${\;}^{\frac{1}{4}}$，e]上最值．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的定義域，由題意得到不等式組，結合圖象從而得到答案；
（2）將a=0代入求出函數(shù)的表達式，得到f（x）的導函數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而求出最值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}-ax}{lnx}$，
∴函數(shù)f（x）的定義域是（0，1）∪（1，+∞），
若f（x）＞0對其定義域內(nèi)的任意x成立，
需滿足①則0＜x＜1時，$\left\{\begin{array}{l}{lnx＜0}\\{{x}^{2}-ax＜0}\end{array}\right.$，②x＞1時，$\left\{\begin{array}{l}{lnx＞0}\\{{x}^{2}-ax＞0}\end{array}\right.$，
畫出函數(shù)的圖象，如圖示：

顯然a=1時符合題意，
故a=1；
（2）a=0時，f（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$，f′（x）=$\frac{x（2lnx-1）}{{（lnx）}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{e}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{e}$且x≠1，
∴f（x）在[${e}^{\frac{1}{4}}$，$\sqrt{e}$]遞減，在[$\sqrt{e}$，e]遞增，
∴f（x）_最小值=f（$\sqrt{e}$）=e，
而f（${e}^{\frac{1}{4}}$）=4$\sqrt{e}$＜f（e）=e²，
∴f（x）在區(qū)間[e${\;}^{\frac{1}{4}}$，e]上的最大值是e²，最小值是e．

點評 本題考查了數(shù)形結合思想，考查導數(shù)的應用，函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道中檔題．