Question

12．設(shè)x，y，z是不全為0的實(shí)數(shù)，則$\frac{xy+yz+xz}{3{x}^{2}+3{y}^{2}+3{z}^{2}}$的最大值是$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由基本不等式可得x²+y²≥2xy，x²+z²≥2xz，y²+z²≥2yz，三式相加變形可得．

解答 解：由基本不等式可得x²+y²≥2xy，x²+z²≥2xz，y²+z²≥2yz，
三式相加可得2（x²+y²+z²）≥2（xy+xz+yz），
∴$\frac{xy+yz+xz}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$≤1，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)取等號(hào)，
∴$\frac{xy+yz+xz}{3{x}^{2}+3{y}^{2}+3{z}^{2}}$≤$\frac{1}{3}$
故答案為：$\frac{1}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式，屬基礎(chǔ)題．