Question

如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是梯形，且滿足AD=DC=CB=

1

2

AB=a在直角梯形ACEF中，EF∥

1

2

AC，∠ECA=90°，已知二面角E-AC-B是直二面角．
（Ⅰ）求證：BC⊥AF；
（Ⅱ）當在多面體ABCDEF的體積為

3 3

8

a²時，求銳二面角D-EF-B的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的性質(zhì)

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取AB的中點G，連結CG，證明BC⊥AF，只需證明BC⊥平面ACEF，證明AC⊥BC，利用二面角E-AC-B是直二面角，即可證明；
（Ⅱ）連結DG交AC于H，連結FH，證明DH⊥面ACEF，利用多面體ABCDEF的體積為

3 3

8

a²，求出CE，求出面BEF的法向量，面DEF法向量，利用向量的夾角公式，即可求銳二面角D-EF-B的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：取AB的中點G，連結CG．
由底面ABCD是梯形，知DC∥AG．
又∵DC=

1

2

AB=AG=a，
∴四邊形ADCG是平行四邊形，得AD=CG=a，
∴CG=

1

2

AB
∴AC⊥BC．
又∵二面角E-AC-B是直二面角，即平面ACEF⊥平面ABCD，
∴BC⊥平面ACEF．
∴BC⊥AF．…（6分）
（Ⅱ）解：連結DG交AC于H，連結FH．
∵平面ACEF⊥平面ABCD，
由（Ⅰ）知BC⊥面ACEF，DH∥BC，
∴DH⊥面ACEF．
即BC、DH分別是四棱錐B-ACEF、D-ACEF的高．
在Rt△ACB中，AC=

4a2-a2

=

3

a，EF=

3

2

a．
∴V=V_D-ACEF+V_B-ACEF=

1

3

×

1

2

×(

3 a

2

+

3

a)×CE×

a

2

+

1

3

×

1

2

×(

3 a

2

+

3

a)×CE×a=

3 3 a3

8

．
∴CE=a．
如圖，以C為坐標原點，CA、CB、CE為x，y，z軸建立空間坐標系，
∴C(0 ，  0 ，  0) ，E(0 ，  0 ，a) ，F(xiàn)(

3 a

2

 ，  0 ，a) ，B(0 ，a ，  0) ，D(

3 a

2

 ，  -

a

2

 ，  0)，

EF

=(

3 a

2

 ，  0 ，  0) ，  

EB

=(0 ，a ，  -a)，
設面BEF的法向量

n1

=（x，y，z），

3 a 2 x=0  ay-az=0

，
令y=z=1，可得

n1

=（0，1，1），
同理可得面DEF法向量

n2

=（0，-2，1）．
∴cosα=

1

2 • 5

=

10

10

．
∴銳二面角D-EF-B的余弦值

10

10

．…（12分）

點評：本題考查線面垂直，線線垂直，考查空間角，考查體積的計算，考查向量知識的運用，確定平面的法向量是關鍵．