【題目】已知向量 =(﹣2sin(π﹣x),cosx), =( cosx,2sin( ﹣x)),函數(shù)f(x)=1﹣
(1)若x∈[0, ],求函數(shù)f(x)的值域;
(2)當(dāng)x∈[0,π]時(shí),求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

【答案】
(1)解:由題意: =(﹣2sin(π﹣x),cosx), =( cosx,2sin( ﹣x)),

函數(shù)f(x)=1﹣

=1+2 cosxsin(π﹣x)﹣2cosxsin( ﹣x)

=1+2 sinxcosx﹣2cos2x

=1+ sin2x﹣1﹣cos2x

= sin2x﹣cos2x

=2sin(2x﹣ ),

當(dāng)x∈[0, ]時(shí),2x- ∈[- ],

當(dāng)x=- 時(shí),f(x)取值最小值為﹣1,

當(dāng)x= 時(shí),f(x)取得最大值為2,

所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇﹣1,2]


(2)解:由(1)可得f(x)=2sin(2x﹣ ),

由正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)可知:?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間為[ , ](k∈Z).

(k∈Z).

解得: (k∈Z).

又∵x∈[0,π]

當(dāng)k=0時(shí),可得:

當(dāng)k=1時(shí),可得:

∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[0, ]和[ ,π]


【解析】(1)利用向量的乘積運(yùn)算求出f(x)的解析式,將函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)的形式,在求解x∈[0, ],函數(shù)f(x)的最值,即可得值域.(2)當(dāng)x∈[0,π]時(shí),求出內(nèi)層函數(shù)的范圍,放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上,解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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