Question

15．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD=2，PD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：AD⊥PB；
（Ⅱ）若BD與平面PBC的所成角為30°，求二面角P-BC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明AD⊥PB．
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求二面角P-BC-D的余弦值

解答 證明：（Ⅰ）因為∠DAB=60°，AB=2AD，
由余弦定理得BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos∠DAB=3AD²，
從而BD²+AD²=AB²，
∴∠ADB=90°，故BD⊥AD，
又PD⊥底面ABCD，
可得PD⊥AD，
∴AD⊥平面PBD．
故AD⊥PB．
（Ⅱ）∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AD，PD⊥BD，
∵AD⊥BD，
∴以D為坐標(biāo)原點，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
∵AB=2AD=2，∴AB=2，AD=1，
設(shè)DP=b，
則A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，b）．
∴$\overrightarrow{DB}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{BC}$=（-1，0，0），$\overrightarrow{PB}$=（0，$\sqrt{3}$，-b），
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面PBC的一個法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=-x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{3}y-bz=0}\end{array}\right.$，
令y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則x=0，z=$\frac{1}$，
則$\overrightarrow{m}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{1}$），
∵BD與平面PBC的所成角為30°，
∴$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{DB}$的夾角為60°，
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{DB}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{DB}|}$=$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{3}+（\frac{1}）^{2}}•\sqrt{3}}$=cos60°=$\frac{1}{2}$，
整理得b=1，
∴$\overrightarrow{m}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1），
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面PAB的一個法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-ax+\sqrt{3}ay=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{3}ay-az=0}\end{array}\right.$，
令y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則x=1，z=1，
即$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overline{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
即二面角P-BC-D的余弦值是-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題主要考查空間線面垂直的性質(zhì)，以及二面角的求解，利用向量法是解決二面角的常用方法．