Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中點．
（1）求證：平面AB₁D⊥平面B₁BCC₁；
（2）求證：A₁C∥平面AB₁D．

Answer 1

【答案】分析：（1）由正三棱柱的幾何特征可得AD⊥B₁B，由等邊三角形三線合一，可得AD⊥BD，結(jié)合線面垂直及面面垂直的判定定理，可依次證得AD⊥平面B₁BCC₁及平面AB₁D⊥平面B₁BCC₁；
（2）連接A₁B，交AB₁于E，連DE，由三角形中位線定理可得DE∥A₁C，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理可得A₁C∥平面AB₁D．
解答：證明：（1）因為B₁B⊥平面ABC，AD?平面ABC，
所以AD⊥B₁B    （2分）
因為D為正△ABC中BC的中點，
所以AD⊥BD    （2分）
又B₁B∩BC=B，
所以AD⊥平面B₁BCC₁   （4分）
又AD?平面AB₁D，故平面AB₁D⊥平面B₁BCC₁    （6分）
（2）連接A₁B，交AB₁于E，連DE    （7分）
因為點E為矩形A₁ABB₁對角線的交點，所以E為AB₁的中點   （8分）
又D為BC的中點，所以DE為△A₁BC的中位線，
所以DE∥A₁C    （10分）
又DE?平面AB₁D，
所以A₁C∥平面AB₁D    （12分）
點評：本題以正三棱柱為載體考查了平面與平面垂直的判定及直線與平面平行的判定，熟練掌握正三棱柱的幾何特征，是解答的核心．