Question

（1）已知a＞0，b＞0，求證：a³+b³≥a²b+ab²
（2）已知a＞0，b＞0且

8

a

+

1

b

=1，求證a+2b≥18．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：選作題,不等式

分析：（1）本題可用分析法與綜合法來解答：法一，分析法：證明使a³+b³≥a²b+ab²成立的充分條件成立．
法二，綜合法：由a²-2ab+b²≥0，通過變形，應(yīng)用不等式的性質(zhì)可證出結(jié)論．
（2）進(jìn)行的“1”的代換，從而使得等式得左端符合了積為定值．

解答： 證明：（1）法一：（分析法）要證a³+b³≥a²b+ab² 成立，
只需證（a+b）（a²-ab+b²）≥ab（a+b）成立．
又因?yàn)閍＞0，b＞0，故只需證a²-ab+b²≥ab成立，即證（a-b）²≥0成立，
（a-b）²≥0顯然成立，由此命題得證．
法二：（綜合法）∵a²-2ab+b²≥0，∴a²-ab+b²≥ab（*）．
而a，b均為正數(shù)，∴a+b＞0，∴（a+b）（a²-ab+b²）≥ab（a+b）
∴a³+b³≥a²b+ab² 成立．
（2）∵a＞0，b＞0且

8

a

+

1

b

=1，
∴a+2b=（a+2b）（

8

a

+

1

b

）=10+

a

b

+

16b

a

≥10+2

a b • 16b a

=18，
當(dāng)且僅當(dāng)a=4b時(shí)取等號．

點(diǎn)評：本題主要考查用分析法和綜合法證明不等式，此題還可用比較法證明，體會不同方法間的區(qū)別聯(lián)系，屬于中檔題．解題中要注意配湊基本不等式成立的條件，解題本題的關(guān)鍵是進(jìn)行的“1”的代換，從而使得等式得左端符合了積為定值．