Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1，若函數(shù)f（x）沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：解采用圖象分析法：設(shè)g（x）=ln（x-1）（x＞1），h（x）=k（x-1）-1 （x＞1），原題目相當(dāng)于若g（x）與h（x）沒有交點(diǎn)，求k的取值范圍，
分析：g（x）=ln（x-1）圖象固定，h（x）過定點(diǎn)（1，-1），然后圍繞這個(gè)點(diǎn)根據(jù)k值不同，斜率變化．圖中紅色區(qū)域所示的范圍就是k值在滿足要求條件下所允許的范圍．垂直于x軸，則k趨于無窮大，不用限定k，關(guān)鍵在求斜著那條線的斜率，很明顯，兩個(gè)曲線相切時(shí)候是分界點(diǎn)，分別求g（x）、h（x）導(dǎo)數(shù)：

解答： 解：采用圖象分析法：

設(shè)g（x）=ln（x-1）（x＞1）
h（x）=k（x-1）-1 （x＞1）
∵g（x）=ln（x-1）圖象固定，且h（x）過定點(diǎn)（1，-1），垂直于x軸，則k趨于無窮大，不用限定k，
∴g′（x）=

1

x-1

，h′（x）=k
令切點(diǎn)為x=a時(shí)，兩曲線在x=a應(yīng)有相同斜率，
則有g(shù)′（a）=

1

a-1

=h′（a）=k
∴k=

1

a-1

兩曲線相切于x=a，則x=a時(shí)，兩函數(shù)y值應(yīng)該相等即h（a）=g（a）
∵h(yuǎn)（a）=k（x-1）-1=

1

a-1

•(a-1)-1=0，
g（a）=ln（a-1）=h（a）=0，則a=2，
∴k=

1

a-1

=1，
∴k的取值范圍為k＞1，

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的求法，利用數(shù)形結(jié)合的思想是關(guān)鍵，屬于難題．