【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,.
(1)求證:B1C⊥AB;
(2)若∠CBB1=60°,AC=BC,且點(diǎn)A在側(cè)面BB1C1C上的投影為點(diǎn)O,求二面角B﹣AA1﹣C的余弦值.
【答案】(1)詳見解析;(2).
【解析】
(1)由側(cè)面BB1C1C為菱形,得B1C⊥BO,再由AC=AB1,O為B1C的中點(diǎn),得B1C⊥AO,利用直線與平面垂直的判定可得B1C⊥平面ABO,從而得到B1C⊥AB;
(2)點(diǎn)A在側(cè)面BB1C1C上的投影為點(diǎn)O,即AO⊥平面BB1C1C,由(1)知OB⊥OB1,以O為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以OB,OB1,OA所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.分別求出平面BAA1 的一個(gè)法向量與平面ACA1的一個(gè)法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得二面角B﹣AA1﹣C的余弦值.
(1)證明:∵側(cè)面BB1C1C為菱形,∴B1C⊥BO,又AC=AB1,O為B1C的中點(diǎn),∴B1C⊥AO,
而AO∩BO=O,∴B1C⊥平面ABO,得B1C⊥AB;
(2)解:∵點(diǎn)A在側(cè)面BB1C1C上的投影為點(diǎn)O,即AO⊥平面BB1C1C,又由(1)知OB⊥OB1,
∴以O為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以OB,OB1,OA所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
∵∠CBB1=60°,AC=BC,
設(shè)BC=2a,則,,,,
,,.
設(shè)平面BAA1 的一個(gè)法向量為,
由,取z1=1,得;
設(shè)平面ACA1的一個(gè)法向量為,
由,取,得.
∴.由圖可知,二面角B﹣AA1﹣C為銳角,
∴二面角B﹣AA1﹣C的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時(shí)期,我市教育局提出“停課不停學(xué)”的口號(hào),鼓勵(lì)學(xué)生線上學(xué)習(xí).某校數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)與線上學(xué)習(xí)時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系,對(duì)高三年級(jí)隨機(jī)選取45名學(xué)生進(jìn)行跟蹤問卷,其中每周線上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間不少于5小時(shí)的有19人,余下的人中,在檢測(cè)考試中數(shù)學(xué)平均成績(jī)不足120分的占,統(tǒng)計(jì)成績(jī)后得到如下列聯(lián)表:
分?jǐn)?shù)不少于120分 | 分?jǐn)?shù)不足120分 | 合計(jì) | |
線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí) | 4 | 19 | |
線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí) | |||
合計(jì) | 45 |
(1)請(qǐng)完成上面列聯(lián)表;并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”;
(2)在上述樣本中從分?jǐn)?shù)不少于120分的學(xué)生中,按照分層抽樣的方法,抽到線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí)和線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí)的學(xué)生共5名,若在這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求至少1人每周線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí)的概率.
(下面的臨界值表供參考)
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式 其中)
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【題目】如圖①,四邊形中,,,,,為的中點(diǎn).將沿折起到的位置,如圖②.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)若,求與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E是棱AB的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)F是側(cè)面ACC1A1(包括邊界)上一點(diǎn),若EF//平面BCC1B1,則動(dòng)點(diǎn)F的軌跡是( )
A.線段B.圓弧
C.橢圓的一部分D.拋物線的一部分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+1|﹣|2x﹣2|的最大值為M,正實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=M.
(1)求2a2+b2的最小值;
(2)求證:aabb≥ab.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為的菱形中,,現(xiàn)沿對(duì)角線把翻折到的位置得到四面體,如圖所示.已知.
(1)求證:平面平面;
(2)若是線段上的點(diǎn),且,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,過右焦點(diǎn)F的直線L與C相交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)L的斜率為1時(shí),坐標(biāo)原點(diǎn)O到L的距離為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)在C上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)L繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí),有成立?若存在,求出所有的P的坐標(biāo)與L的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】改革開放40年來,我國(guó)城市基礎(chǔ)設(shè)施發(fā)生了巨大的變化,各種交通工具大大方便了人們的出行需求.某城市的A先生實(shí)行的是早九晚五的工作時(shí)間,上班通常乘坐公交或地鐵加步行.已知從家到最近的公交站或地鐵站都需步行5分鐘,乘坐公交到離單位最近的公交站所需時(shí)間Z1(單位:分鐘)服從正態(tài)分布N(33,42),下車后步行再到單位需要12分鐘;乘坐地鐵到離單位最近的地鐵站所需時(shí)間Z2(單位:分鐘)服從正態(tài)分布N(44,22),從地鐵站步行到單位需要5分鐘.現(xiàn)有下列說法:①若8:00出門,則乘坐公交一定不會(huì)遲到;②若8:02出門,則乘坐公交和地鐵上班遲到的可能性相同;③若8:06出門,則乘坐公交比地鐵上班遲到的可能性大;④若8:12出門,則乘坐地鐵比公交上班遲到的可能性大.則以上說法中正確的序號(hào)是_____.
參考數(shù)據(jù):若Z~N(μ,σ2),則P(μ﹣σ<Z≤μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<Z≤μ+2σ)=0.9544,P(μ﹣3σ<Z≤μ+3σ)=0.9974
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