Question

【題目】已知橢圓的離心率為，過右焦點F的直線L與C相交于A、B兩點，當L的斜率為1時，坐標原點O到L的距離為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）在C上是否存在點P，使得當L繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立?若存在，求出所有的P的坐標與L的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，詳見解析.

【解析】

（1）設(shè)，可得直線L方程為，利用點到直線距離公式即可得，利用離心率即可得，再利用求得后即可得解；

（2）設(shè)，，則，按照直線L的斜率是否為0分類，當直線L斜率不為0時，設(shè)直線L的方程為，聯(lián)立方程組結(jié)合韋達定理即可得、，將點P坐標代入橢圓方程求得后即可得解.

（1） 設(shè)，當L的斜率為1時，其方程為，

則原點O到直線L的距離為，解得，

由橢圓的離心率，可得，，

所以橢圓方程為；

（2）假設(shè)C上存在點P，使得當L繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立.

設(shè)，，則，

由（1）知，橢圓C的方程為，

當直線L斜率為0時，點，不合題意；

當直線L斜率不為0時，設(shè)直線L的方程為，

由，消去x化簡得，，

所以，

所以，

所以點，

又因為點在橢圓上，所以，

化簡得，解得或（舍去），

當時，點，直線L的方程為即；

當時，點，直線L的方程為即.

綜上，橢圓C上存在點，使得當L繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立，此時直線方程為.