Question

當a為何值時，方程x³-3x²-a=0恰有一個實根、兩個不等實根、三個不等實根或者有沒有可能無實根？

Answer 1

考點：函數的零點與方程根的關系

專題：計算題,數形結合,分類討論,導數的綜合應用

分析：令函數f（x）=x³-3x²，求出函數的導數，令導數大于0，得增區(qū)間，令導數小于0，得減區(qū)間，進而得到極值，再作出直線y=a和y=x³-3x²，通過觀察直線和曲線分別有0個交點、1個交點、2個交點和3個交點的情況即可．

解答： 解：令函數f（x）=x³-3x²，則導數為
f′（x）=3x²-6x，
由f′（x）＞0，解得，x＞2或x＜0，f（x）遞增；
由f′（x）＜0，解得，0＜x＜2，f（x）遞減．
則有f（x）在x=0處取得極大值，且為0，
f（x）在x=2處取得極小值，且為-4．
方程x³-3x²-a=0，即有a=x³-3x²，
作出直線y=a和y=x³-3x²，
由于y=x³-3x²在（2，+∞），（-∞，0）內遞增，
在（0，2）內遞減，
則y=x³-3x²在x=0處取得極大值，且為0，
在x=2處取得極小值，且為-4．
通過圖象觀察，可得，當a＞0或a＜-4時，有1個交點，即f（x）有1個零點；
當a=0或-4，有2個交點，即f（x）有2個零點；
當-4＜a＜0，有3個交點，即f（x）有3個零點，
則不可能沒有零點．
綜上可得，當a＞0或a＜-4時，方程恰有一個實根；
當a=0或-4時，方程有兩個不相等的實根；
當-4＜a＜0時，方程有3個實根；
不管a為何值，方程均有實根，不可能沒有實根．

點評：本題考查函數的導數的運用：求單調區(qū)間和極值，考查函數的零點的求法，注意運用數形結合的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．