Question

已知橢圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn),拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.

（1）求橢圓和拋物線的方程；

(2)若點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別是，直線交橢圓于兩點(diǎn).

(i)求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；

(ii)當(dāng)的面積取最大值時(shí)，求直線的方程.

 

Answer 1

解：(1)橢圓C₁：+ y²=1；C₂：x²=-2y ----4分

(2)(i)設(shè)點(diǎn)M(x₀,y₀),且滿足2x₀-4y₀+3=0,點(diǎn)A(x₁,y₁) ,B(x₂ ,y₂), 對(duì)于拋物線y= - ,y¢ = - x , 則切線MA的斜率為-x₁ ,從而切線MA的方程為：y–y₁=-x₁(x-x₁),即：x₁x+y+y₁=0 ,同理：切線MB的方程為：x₂x+y+y₂=0 ，

又因?yàn)橥瑫r(shí)過(guò)M點(diǎn)，所以分別有：x₁x₀+y₀+y₁=0和x₂x₀+y₀+y₂=0，因此A，B同時(shí)在直線x₀x+y+y₀=0上，又因?yàn)椋?x₀-4y₀+3=0，所以：AB方程可寫成：y₀(4x+2)+(2y-3x)= 0,顯然直線AB過(guò)定點(diǎn)：(- ,- ).---------6分

(ii)直線AB的方程為：x₀x+y+y₀=0，代入橢圓方程中得：(1+4x₀²)x²+8x₀y₀x+4y₀²-4=0

令P(x₃,y₃),Q(x₄,y₄) , D = 16(4x₀²- y₀²+1)>0,

x₃+x₄ = - ；x₃x₄ = 

|PQ| = ·= ·-------8分

點(diǎn)O到PQ的距離為：d=

從而S_DOPQ = ·|PQ|·d = ×·×

= 2×£ =1 ---------10分

當(dāng)且僅當(dāng)y₀² = 4x₀²- y₀²+1時(shí)等號(hào)成立,又2x₀-4y₀+3=0聯(lián)立解得：x₀= ,y₀= 1或x₀= - ,y₀= ；

從而所求直線AB的方程為：x+2y+2=0 或x-14y-10=0------------12分