Question

8．如圖，已知圓上的弦AC=BD，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點．
（Ⅰ）求證：∠ACE=∠BCD；
（Ⅱ）若BE=8，CD=2，求BC的長．

Answer 1

分析 （I）由同圓中等圓弧的性質可得∠ABC=∠BCD．由弦切角定理可得∠ACE=∠ABC，即可得出證明．
（II）利用弦切角定理可得∠CDB=∠BCE，由相似三角形的判定定理可得△BEC∽△CBD，由相似三角形的性質可得$\frac{CD}{BC}=\frac{BC}{EB}$，即可求出BC．

解答 （Ⅰ）證明：∵弦AC=BD，∴∠ABC=∠BCD．
又∵EC為圓的切線，∴∠ACE=∠ABC，
∴∠ACE=∠BCD．
（Ⅱ）解：∵EC為圓的切線，∴∠CDB=∠BCE，
由（Ⅰ）可得∠BCD=∠ABC．
∴△BEC∽△CBD，∴$\frac{CD}{BC}=\frac{BC}{EB}$，
∴BC²=CD•EB=2×8=16，解得BC=4．

點評 熟練掌握同圓中等圓弧的性質、弦切角定理、相似三角形的判定和性質定理是解題的關鍵．